在等腰直角三角形中,角A为90度,D、E为AB＼AC上一点,AD＝AE,AF垂直BE交BC于F,过F作FG垂直CD交BE延长线

题目

在等腰直角三角形中,角A为90度,D、E为AB＼AC上一点,AD＝AE,AF垂直BE交BC于F,过F作FG垂直CD交BE延长线
过F作FG垂直CD交BE延长线于E.求证：BG＝AF＋FG

答案

∵AD=AE,AB=AC,∠BAC为公共角
∴△BAE≌△CAD
∴∠ABE=∠ACD,
∴∠DCB=∠EBC
延长GF到H,使FH=AF,连接BH.
在△BAF,△BHF中,
AF=FH,BF为公共边,∠BFA=∠BFH(易证)
∴△BAF≌△BHF
∴∠BAF=∠BHF,∠ABF=∠HBF=45°
∵∠BAF=∠AEB=∠EBF+45°,∠HBG=∠EBF+45°
∴∠GBH=∠BHF
∴GB=GH
∴BG=AF+FG