若定义在R上的函数f(x)的图象关于x=2对称,且方程f(x)=0有5个实根,则起所有根之和为?

题目

若定义在R上的函数f(x)的图象关于x=2对称,且方程f(x)=0有5个实根,则起所有根之和为?

答案

若定义在R上的函数f(x)的图象关于x=2对称,且方程f(x)=0有5个实根,则起所有根之和为10
根据题目,函数f(x)的图象关于x=2对称,在图象上可以得出,f(x)在x=2的左边和右边跟x轴有相同数目的交点,又由题目可知,f(x)=0有5个实根,即f(x)与x轴有5个交点,可以得出,当x=2时,f(x)=f(2)=0,即x=2即为f(x)的一个实根,再根据定义在R上的函数f(x)的图象关于x=2对称,可知f(x)的另外4个实根是分布在x=2两侧,而且是对称的,假设,x1,x2,x3,x4的f(x)的4个实根,而且(x1,f(x1)),(x2,f(x2))关于x=2对称,(x3,f(x3)),(x4,f(x4))关于x=2对称,
可以得出,
x1-2=2-x2
x3-2=2-x4
继续得出,
x1+x2=4
x3+x4=4
至此,得出
f(x)的5个实根,x1,x2,x3,x4,2之和为:10