已知点P是椭圆上的任意一点,F1,F2分别为焦点,求向量PF1与向量PF2乘积的最大值和最小值.

题目

已知点P是椭圆上的任意一点,F1,F2分别为焦点,求向量PF1与向量PF2乘积的最大值和最小值.

答案

P是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)上的任意一点,
∴|PF1|+|PF2|=2a,设|PF1|=t,则
PF1^2+PF2^2=t^2+(2a-t)^2=2t^2-4at+4a^2
=2(t-a)^2+2a^2,∈[2a^2,4a^2]
由余弦定理,4c^2=PF1^2+PF2^2-2PF1*PF2
∴PF1*PF2=(PF1^2+PF2^2-4c^2)/2,
它的最大值为（4a^2-4c^2)/2=2b^2,
最小值为（2a^2-4c^2)/2=2b^2-a^2.