计算∫∫∑（1/r^2）dS,其中∑是x^2+y^2=R^2被z=0及z=H所截部分,r是原点到柱面上的点

题目

计算∫∫∑（1/r^2）dS,其中∑是x^2+y^2=R^2被z=0及z=H所截部分,r是原点到柱面上的点
r是原点到柱面上的点的距离
答案是2pai 乘以arctan(H/R)

答案

r^2=R^2+z^2,∑在yoz平面的投影为矩形：z从0到H,y从-R到R
由于dS=√(1+y^2/(R^2-y^2))dydz=R/√(R^2-y^2))dydz
由对称性（∑在yoz平面的投影要计算2个）
∫∫∑（1/r^2）dS
=2R∫(0,H)（1/(R^2+z^2）dS∫(-R,R)1/√(R^2-y^2))dy
=2arctan(z/R)|(0,H)arcsin(y/R)|(-R,R)
=2πarctan(H/R)