已知动点M(x,y)到定点F(0,1)的距离等于它到定直线l:y+1=0的距离.

题目

已知动点M(x,y)到定点F(0,1)的距离等于它到定直线l:y+1=0的距离.
（1）求点M的轨迹方程；
（2）经过点F,倾斜角为30°的直线m交A,B两点,求|AB|；
（3）设过点G（0,4）的直线n交M的轨迹于C（x1,y1),D(x2,y2),O为坐标原点,证明：OC⊥OD.

答案

1) 点M到点F的距离是
|MF|=√[x²+(y-1)²]
点M到直线　y+1=0 的距离是 d=|y+1|
根据题意,得
x²+(y-1)²=(y+1)²
x²+y²-2y+1=y²+2y+1
于是得
y=x²/4
就是点M的轨迹方程,是一个顶点在原点,以Y轴为对称轴,开口向上的抛物线
2）
直线m的斜率k＝tan30º=√3/3
直线m的方程为 y=√3/3x+1
代入抛物线方程,得
x²/4=√3/3x+1
x²-4√3/3x-4=0
这个关于x的一元二次方程的两个根x1,x2是直线m与抛物线的两个交点A,B 的横坐标
x1+x2=4√3/3
x1x2=-4
y1+y2=(√3/3x1+1)+(√3/3x2+1)=√3/3(x1+x2)+2=4/3+2=10/3
y1y2=(√3/3x1+1)(√3/3x2+1)=1/3(x1x2)+√3/3(x1+x2)+1
=-4/3+4/3+1=1
∴AB²=(x1-x2)²+(y1-y2)²
=(x1+x2)²-4x1x2+(y1+y2)²-4y1y2
=16/3+16+100/9-4
=148/9+8=220/9
|AB|=2√55/3
3)
过G（0,4）的直线为 y=kx+4
代入抛物线方程,得
x²/4=kx+4
x²-4kx-16=0
x1+x2=4k x1x2=-16
OC 的斜率是 y1/x1 ,OD的斜率是 y2/x2
(y1/x1)(y2/x2)=(y1y2)/(x1x2)=[k²x1x2+4k(x1+x2)+16]/x1x2
=(-16k²+16k²+16)/(-16)=-1
∴OC⊥OD