在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C所对的边，周长为2+1，已知：m=（sinA+sinB，sinC），n＝(1，−2)，且m⊥n， （1）求边c的长； （2）求角C的最大值．

题目

在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C所对的边，周长为

2

+1，已知：m=（sinA+sinB，sinC），n＝(1，−

2

)，且m⊥n，
（1）求边c的长；  （2）求角C的最大值．

答案

（1）由

m

⊥

n

得：sinA+sinB−

2

sinC＝0，
由正弦定理可得：a+b＝

2

c，又a+b+c＝

2

+1，
解得c=1；
（2）由（1）a+b＝

2

，
则cosC＝

a2+b2−c2

2ab

＝

(a+b)2−c2

2ab

−1＝

1

2ab

−1≥

2

(a+b)2

−1＝0，
又C为三角形的内角，∴0＜C≤

π

2

，
则角C的最大值为

π

2

．

（1）根据平面向量垂直时数量积为0列出关系式，利用正弦定理化简后，再根据周长的值，求出c的值即可；
（2）利用余弦定理表示出cosC，分子配方后把a+b及c的值代入化简，再利用基本不等式得到cosC大于等于0，由C为三角形的内角，求出C的范围，从而得到C的最大值．

本题考点：解三角形．

考点点评：此题考查了平面向量的数量积运算，正弦、余弦定理，基本不等式，以及余弦函数的图象与性质，属于解三角形的题型，其中正弦、余弦定理很好的建立了三角形的边角关系，给已知与未知提供了联系，故熟练掌握定理是解本题的关键．