已知△ABC中∠ACB=90°,SA⊥面ABC,AD⊥SC. (Ⅰ)求证:AD⊥面SBC; (Ⅱ)若BC=1,∠ABC=60°,SA=AB,求AB与平面SBC所成角的正弦值.
题目
已知△ABC中∠ACB=90°,SA⊥面ABC,AD⊥SC.
(Ⅰ)求证:AD⊥面SBC;
(Ⅱ)若BC=1,∠ABC=60°,SA=AB,求AB与平面SBC所成角的正弦值.
答案
(I)∵SA⊥面ABC,BC⊂面ABC,∴BC⊥SA
∵∠ACB=90°,即AC⊥BC,且AC、SA是面SAC内的相交直线,
∴BC⊥面SAC
又∵AD⊂面SAC,∴BC⊥AD,
又∵SC⊥AD,且BC、SC是面SBC内的相交直线,
∴AD⊥面SBC;
(II)连结BD
∵AD⊥面SBC,∴BD是AB在平面ADC内的射影,可得∠ABD就是AB与平面SBC所成角
∵Rt△ABC中,BC=1,∠ABC=60°,∴AB=
=2,
又∵Rt△ASB中,SA=AB,∴SB=
AB=2
因此,Rt△SBC中,SC=
=3,得中线BD=
SC=
Rt△ABD中,cos∠ABD=
=
,得sin∠ABD=
=
即AB与平面SBC所成角的正弦值是
.
(I)由SA⊥面ABC,得BC⊥SA,结合AC⊥BC,利用线面垂直判定定理,证出BC⊥面SAC,从而得到BC⊥AD,再结合SC⊥AD,可得AD⊥面SBC;
(II)连结BD,由AD⊥面SBC,得∠ABD就是AB与平面SBC所成角.再由题中数据算出Rt△ABD中AB=2且BD=
,利用三角函数的定义得到cos∠ABD=
=
,得sin∠ABD=
,即得AB与平面SBC所成角的正弦值.
直线与平面所成的角;直线与平面垂直的判定.
本题在特殊三棱锥中证明线面垂直,并求线面所成角的正弦值.着重考查了空间线面垂直的判定与性质、直线与平面所成角的定义及求法等知识,属于中档题.
举一反三
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