二次型化为标准型的问题

题目

二次型化为标准型的问题
二次型f(X1,X2,X3)=x1^2+5x2^2+x3^2-4x1x2+2x2x3的标准型可以是
Ay1^2+4y2^2 By1^2-6y2^2+2y3^2 Cy1^2-y2^2 D y1^2+4y2^2+y3^2
我想问下化为标准型不是特征值在乘以y1 y2 y3吗 二次型的特征值是1 6 0 选项里没有 而且答案是A 这个A是怎么求出来的啊?

答案

设对应的二次型矩阵A的特征值为λ
则|A-λE|=
1-λ -2 0
-2 5-λ -1
0 -1 1-λ 第1行减去第3行×2
=
1-λ 0 2λ-2
-2 5-λ -1
0 -1 1-λ 第3列加上第1列×2
=
1-λ 0 0
-2 5-λ -5
0 -1 1-λ 按第1行展开
=(1-λ)[(5-λ)(1-λ)-5]
=(1-λ)(λ^2-6λ)=0
解得λ=1,0,6
你算得没有错,
但要注意的是,
二次型的各项系数不是唯一的,
即一个二次型得出的标准型不是唯一的
所以在这里选择答案的时候,要看的只是y对应的正负号,
1,0,6中有2个正数,1个0,
所以只有A是满足的