如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC上一点，且∠BAD=2∠C．求证：∠ABD=∠ADB．

题目

如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC上一点，且∠BAD=2∠C．
求证：∠ABD=∠ADB．

答案

证明：∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，
∴B+∠C=90°（直角三角形的两个锐角互余）；
又∠BAD=2∠C（已知），
∴∠BAD+∠DAC=2∠C+∠DAC=∠B+∠C，即∠B=∠C+∠DAC，
∵∠ADB=∠C+∠DAC（三角形外角性质），
∴∠ABD=∠ADB（等量代换）．

根据直角三角形的两个锐角互余的性质推知B+∠C=90°；然后由已知条件∠BAD=2∠C求得∠BAD+∠DAC=2∠C+∠DAC=∠B+∠C，即∠B=∠C+∠DAC；最后根据△ADC的外角性质以及等量代换证得
∠ABD=∠ADB．

本题考点：直角三角形的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质．

考点点评：本题考查了三角形外角性质、直角三角形的性质．直角三角形的两个锐角互余．