高一一道证明题

题目

高一一道证明题
已知S是两个整数平方和的集合,即S=｛x|x=m^2+n^2｝,m、n∈Z
求证：1、若s、t∈S,则st∈S
2、若s、t∈S,且t不为0,则s/t=p^2+q^2,其中p、q为有理数

答案

证明：若s、t∈S,则：设s=a^2+b^2,t=c^2+d^2.
1.st=(a^2+b^2)(c^2+d^2)
=(ac)^2+(ad)^2+(bc)^2+(bd)^2
=(ac)^2+2abcd+(bd)^2+(ad)^2-2abcd+(bc)^2
=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2
所以st∈S
2.s/t=st/t^2=(a^2+b^2)(c^2+d^2)/(c^2+d^2)^2
=[(ac+bd)^2+(ad-bc)^2]/(c^2+d^2)^2
=(ac+bd)^2/(c^2+d^2)^2+(ad-bc)^2/(c^2+d^2)^2
=p^2+q^2