X是无理数,Y是一个不为零的有理数.1）证明1/Y是有理数.2）1/X是无理数.3）XY是无理数.

题目

X是无理数,Y是一个不为零的有理数.1）证明1/Y是有理数.2）1/X是无理数.3）XY是无理数.

答案

（1）设Y=p/q,p,q均为非零整数 则1/Y=q/p为有理数
（2）假设XY是有理数,
则XY=a/b,a,b均为非零整数
X=aq/yp
与X为无理数矛盾
故XY为无理数