已知：α，β为锐角，且3sin2α+2sin2β=1，3sin2α-2sin2β=0．求证：α+2β＝π2．

题目

已知：α，β为锐角，且3sin²α+2sin²β=1，3sin2α-2sin2β=0．求证：α+2β＝

π

2

．

答案

由3sin²α+2sin²β=1，得：3sin²α=cos2β．
由3sin2α−2sin2β＝0，得：sin2β＝

3

2

sin2α＝3sinαcosα．
∴sin²2β+cos²2β=9sin²αcos²α+9sin⁴α
∴9sin²α=1．
∴sinα=

1

3

（α为锐角）
∴sin（α+2β）=sinαcos2β+cosαsin2β=sinα（3sin²α）+cosα（3sinαcosα）
=3sinα（sin²α+cos²α）=3sinα=1
∴α+2β＝

π

2

．

欲证：α+2β＝

π

2

．往往通过转化为证明其某一三角函数值是一个特殊值得到证明，利用题中的两个关系，我们先求sin（α+2β）的值即可解决问题．

本题考点：同角三角函数基本关系的运用．

考点点评：本题主要考查了同角三角函数基本关系的运用以及二倍角公式，证明的关键是求出sin（α+2β），是一道三角变换的中档题．