矩形的对角线一定,面积一定吗

题目

矩形的对角线一定,面积一定吗
一个矩形,对角线一定,改变长宽比,面积改变吗?
如果面积改变,长宽比为多少时 面积最大?
给出证明

答案

当然改变,试想一下,假如宽几乎为0的话,那么就几乎变成一条没有面积的线段了.
证明：设长方形的边长为a,b,对角线长为x
则根据勾股定理：x^2=a^2+b^2
矩形面积S=ab=((a+b)^2-a^2-b^2)/2
=((a+b)^2-x^2)/2
面积与a+b有关,不是定值
由于x^2为定值,所以只需求(a+b)^2的最大值
(a-b)^2=a^2+b^2-2ab>=0
2ab