求解复变函数sinz=2方程得解及解题过程,小弟感激涕零!

题目

求解复变函数sinz=2方程得解及解题过程,小弟感激涕零!

答案

z=a+ib
2=sinz=[e^(iz)-e^(-iz)]/(2i)=[e^(ia-b)-e^(-ia+b)]/(2i)
4i=e^(-b)(cosa+isina)-e^b(cosa-isina)
对比实部,虚部得：
0=e^(-b)cosa-e^bcosa,因为b0,所以有cosa=0,有sina=1,或-1
4=e^(-b)sina+e^bsina,sina=-1时,无解,所以只能取sina=1,得：e^b+e^(-b)=4,解得：e^2b-4e^b+1=0,得：e^b=2+√3,2-√3,得：b=ln(2+√3),ln(2-√3)
由cosa=0,sina=1,得：a=2kπ+π/2
所以z=a+ib,a=2kπ+π/2,b=ln(2+√3),ln(2-√3)