已知圆系方程x2+y2+2kx+(4k+10)y+5k2+20k=0(k∈R),是否存在斜率为2的直线l被圆系方程表示的任意一圆截得的弦长是定值45?如果存在,试求直线l的方程;如果不存在,请说明理由
题目
已知圆系方程x
2+y
2+2kx+(4k+10)y+5k
2+20k=0(k∈R),是否存在斜率为2的直线l被圆系方程表示的任意一圆截得的弦长是定值
4?如果存在,试求直线l的方程;如果不存在,请说明理由.
答案
(本小题满分14分)
假设存在满足条件的直线方程为y=2x+m,
圆的方程配方可得:(x+k)
2+(y+2k+5)
2=25.
所以圆心到直线的距离d=
|−2k+2k+5+m|=,
由垂径定理可得:
()2=52−(2)2,
解得m=0或m=-10,
故存在满足条件的直线方程,方程为y=2x或y=2x-10.
设出直线的方程,求出圆的圆心坐标,利用圆心距、半弦长与半径满足勾股定理,求出所求直线方程即可.
直线与圆的位置关系.
本题考查直线与圆的位置关系的应用,点到直线的距离公式以及垂径定理的应用,考查计算能力.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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