已知双曲线的中心在原点O,右焦点F（c,0）,p是双曲线右支上的一点,且三角形OFP的面积为√6/2.

题目

已知双曲线的中心在原点O,右焦点F（c,0）,p是双曲线右支上的一点,且三角形OFP的面积为√6/2.
若向量oF乘向量FP=（√6/3-1）c^2,向量op的绝对值取最小值时,求此双曲线的方程?

答案

设P(X,Y),则OP=根(x*x+y*y),
因为S=X*Y*1/2=根6/2,所以X*Y=根6 .
根据均值定理：X*X+Y*Y>=2X*Y=2根6,当且仅当X*X=Y*Y=根6时等号成立.
p在双曲线上,所以x*x/a*a-y*y/b*b=1,即：根6/a*a-根6 /b*b=1
P点坐标求出后,可根据体重条件求出C,因为a*a+b*b=c*c,将加粗的两个方程联立即可解除a,b,从而解出双曲线方程