凸函数与琴生不等式

题目

凸函数与琴生不等式
设ai,bi均大于0,i=1,2,.证明：
a1b1+a2b2+.+anbn1,且1/p+1/q=1
（a,b的后面为下标）

答案

这个不等式是离散形式的Holder不等式
证明它要先借用另外一个不等式——Young不等式:
对正实数a,b,p,q,满足1/p+1/q=1,恒有ab≤1/p*a^p+1/q*b^q,等号成立当且仅当a^p=b^q
构造函数f(x)=e^x,f二阶导数f'(x)=e^x>0,f(x)是下凸的
那么ab=e^(ln(ab))=e^(ln(a^p)/p+ln(b^q)/q)≤1/p*e^(ln(a^p))+1/q*e^(ln(b^q))=a^p/p+b^q/q
不等式得证
回到题目来
令xi=ai/(a1^p+a2^p+...+an^p)^(1/p),yi=bi/(b1^q+b2^q+...+bn^q)^(1/q)
,i=1,2,...n,只需证明:
x1y1+x2y2+...+xnyn≤1
而根据Young不等式
x1y1+x2y2+..+xnyn
≤1/p(x1^p+x2^p+...+xn^p)+1/q(y1^q+y2^q+...+yn^q)
=1/p+1/q
=1
这就完成了证明
顺便说明
等号成立当且仅当xi^p=yi^q,即
ai^p/(a1^p+a2^p+...+an^p)=bi^q/(b1^q+b2^q+...+bn^q)
即对任意i,j,i≠j,有
(ai/aj)^p=(bi/bj)^q
当p=q=2时立即得到我们熟知的Cauchy不等式的等号成立条件