已知函数f(x)=(m+1/m)lnx+1/x-x, 当m属于[3,正无穷]时,曲线y=f(x)上总存在相异两点P（x1,f(x1))、

题目

已知函数f(x)=(m+1/m)lnx+1/x-x, 当m属于[3,正无穷]时,曲线y=f(x)上总存在相异两点P（x1,f(x1))、
Q（x2,f(x2)),使得曲线y=f(x)在点P、Q处的切线相互平行,求x1+x2的取值范围?

答案

由函数f(x)=(m+1/m)lnx+1/x-x,当m属于[3,正无穷]时,曲线y=f(x)上总存在相异两点P（x1,f(x1))、 Q（x2,f(x2)),使得曲线y=f(x)在点P、Q处的切线相互平行,说明在P.Q两点处的斜率相等（设为k）,则f'(x)=(m+1/m)/x-1/(x^2)-1=k的两个实根为x1和x2
方程(m+1/m)/x-1/(x^2)-1=k可化为(k+1)x^2-(m+1/m)x+1=0
判别式△=(m+1/m)^2-4(k+1)>0对于任意m∈[3,+∞）恒成立
即4(k+1)