已知F是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0) 的焦点,PQ是过其中的一条弦,记c^2=a^2-b^2,则△PQF面积的最大值是

题目

已知F是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0) 的焦点,PQ是过其中的一条弦,记c^2=a^2-b^2,则△PQF面积的最大值是

答案

由于椭圆对称,不妨设直线过右焦点
设P（x1,y1)Q(x2,y2)直线PQ的方程是y=kx+m
联立y=kx+m
x^2/a^2+y^2/b^2=1
消去y,得
(a^2k^2+b^2)x^2+2a^2kmx+a^2m^2-a^2b^2=0
x1+x2=
x1x2=
S△PQF=1/2 ｜QF｜｜ PF｜sin∠PFQ=1/2 ｜QF｜｜ PF｜sin∠PFQ=1/2 ｜QF｜｜ PF｜√(1-cos^2∠PFQ)①
向量FQ*向量FP=｜QF｜｜ PF｜cos∠PFQ
把cos∠PFQ代入①,得
S△PQF=1/2√[QF^2*PF^2-(向量FQ*向量FP)^2]
由焦半径公式
｜PF｜=a+ex1,｜QF｜=a+ex2,向量FQ*向量FP=(x1-c)(x2-c)+y1y2
S△PQF=用m,k表示 △>0,得到关系
可以计算.
由于时间仓促,暂时答这些,这题m,k 都是变量是个二元函数,要用到大学偏导数知识,所以建议你把题目改一下,改成过一已知点或者斜率已知,就可以求解了.