(cosα+isinα)^n+(cosα-isinα)^n=2cosnα

题目

(cosα+isinα)^n+(cosα-isinα)^n=2cosnα
如何证

答案

运用公式e^iα=cosα+isinα
由这个式子可以得到：
e^(-iα)=cos(-α)+isin(-iα)=cosα-isinα
对原式进行化简,得
(cosα+isinα)^n+(cosα-isinα)^n
=(e^iα)^n+[e^(-iα)]^n
=e^(inα)+e^(-inα)
=cos(nα)+isin(nα)+cos(-nα)+isin(-nα)
=cos(nα)+isin(nα)+cos(nα)-isin(nα)
=2cos(nα)