求函数y=-cos2x+3cosx+5/4的最大值及最小值，并写出x取何值时函数有最大值和最小值．

题目

求函数y=-cos²x+

3

cosx+

5

4

的最大值及最小值，并写出x取何值时函数有最大值和最小值．

答案

令t=cosx，则t∈[-1，1]
所以函数解析式可化为：y＝−t2+

3

t+

5

4

=−(t−

3

2

)2+2
因为t∈[-1，1]，所以由二次函数的图象可知：
当t＝

3

2

时，函数有最大值为2，此时x＝2kπ+

π

6

或2kπ+

11π

6

，k∈Z
当t=-1时，函数有最小值为

1

4

−

3

，此时x=2kπ+π，k∈Z

先进行配方找出对称轴，而-1≤cosx≤1，利用对称轴与区间的位置关系求出最值及相应的x取值．

本题考点：二次函数的性质；余弦函数的定义域和值域．

考点点评：本题以三角函数为载体考查二次函数的值域，属于求二次函数的最值问题，属于基本题．