已知抛物线y2=2px上两动点A（x1,y2）B((x2,y2)满足y1y2=k(k为常数),试判断是否存在定点M使动直线AB恒过点

题目

已知抛物线y2=2px上两动点A（x1,y2）B((x2,y2)满足y1y2=k(k为常数),试判断是否存在定点M使动直线AB恒过点

答案

当直线AB与x轴垂直的时候,设直线为x=n代入y²=2px
解得y=±√(2pn)
y1*y2=-2pn
则-2pn=k
n=-k/2p,k,2p为常数,所以过定点（-k/2p,0）
当AB与x轴不垂直时,设直线AB为y=mx+b代入y²=2px
整理：m²x²+(2mb-2p)x+b²=0
x1*x2=b²/m²,x1+x2=(2p-2mb)/m²
y1*y2=(mx1+b)(mx2+b)=m²x1x2+mb(x1+x2)+b²
=2b²+mb(2p-2mp)/m²
所以2b²+mb(2p-2mp)/m²=k
2m²b²+2pmb-2m²b²=km²
2pb=km
b=km/2p
直线AB：y=mx+km/2p=m(x+k/2p)恒过定点（-k/2p,0）