已知：2x-3和3x+1是f（x）=ax3+bx2+32x+15的因式，求a，b的值．

题目

已知：2x-3和3x+1是f（x）=ax³+bx²+32x+15的因式，求a，b的值．

答案

若（2x-3）和（3x+1）都是f（x）=ax²+bx²+32x+15的因式，
则（2x-3）（3x+1）=6x²-7x-3能整除f（x）．
解法1：
利用多项式与多项式的大除法：
∴b+

7a

b

＝−30且32+

a

2

＝35，
∴a=6且b=-37
即：f（x）=bx³-37x²+32x+15=（2x-3）（3x+1）（x-5）
解法2：f（x）=（2x-3）（3x+1）（mx+n）

＝(6x2−7x−3)(mx+n) ＝6mx3+(6n−7m)x2−(3m+7n)x−3n ＝ax3+bx2+32x+15

∴

a＝bm b＝6n−7m 32＝−(3m+7n) 15＝−3n

∴n=-5，m=1，b=-37，a=6
即f（x）=（2x-3）（3x+1）（x-5）=6x³-37x²+32x+15

（1）用多项式除法观察余数（2）运用待定系数法．首先假设该多项式分解后的因式为（2x-3）（3x+1）（mx+n），再利用展开后x的各次项系数对应相等，依次解得n、m、b、a的值．

本题考点：因式分解的应用．

考点点评：本题考查因式分解的应用．解决本题的关键是同学们彻底明白待定系数的意义，并能做到灵活运用．