试构造函数f(x),g(x),其定义域为(0,1),值域为[0,1]并满足如下条件：

题目

试构造函数f(x),g(x),其定义域为(0,1),值域为[0,1]并满足如下条件：
试构造函数f(x),g(x),其定义域为（0,1）,值域为[0,1],并且对于任意a属于[0,1],f(x)=a只有一解,而g(x)=a有无穷多个解.
（1）f(x)=①2x(x=1/2^n)
②3x(x=1/3^n)
③0(x=1/3)
④x(x∈﹙0,1﹚,x≠1/2^n,x≠1/3^n)
(分段函数,其中n∈N+)
(2)令g(x)＝①0(x=1/2^i)
②f(gi(x))(x≠1/2^i)
(其中gi(x)=2^(i+1)·(x-1/2^(i+1)),i∈N+)

答案

（1）首先看分段函数的f(x)=x(x∈﹙0,1﹚,x≠1/2^n,x≠1/3^n),部分f(x)图像是f(x)=x挖去部分x=0,x=1,x=1/2^n,和x=1/3^n点,则除去这些点外时取x=a,则满足f(x)=a只有一解.此时f(x)值域不能取到0,1,1/2^n,1/3^n这些值....