初等数论问题,证明 x^2+2y^2=203无解

题目

初等数论问题,证明 x^2+2y^2=203无解
这是初等数论（潘承洞著第二版）p110页的习题,由 203 = 7*29,如果方程有解
x0,y0,则必有（x0y0,203）= 1请问这是为什么?

答案

设 p=7,如果 7|x,则 因为 x^2+2y^2=203,必有 7|2y^2 ==>7|y.于是 7^2 | x^2+2y^2,但是 7^2不|203.矛盾,同理,如果7|y ==>7|x 得到一样的矛盾.
对p=29,推导一样.其关键是 203仅含其素因子 一次.
所以 （x0y0,203)=1
于是有 （x0y0,7)=1 ==》
x0^2=1,2,或4 （mod7),2y0^2=1,2,或4 （mod7),
这不可能得到：x0^2 +2y^2=0(mod7),
矛盾.所以原方程无解.