已知抛物线y^2=8x的焦点为F,点A.C在抛物线上(AC与x轴不垂直)

题目

已知抛物线y^2=8x的焦点为F,点A.C在抛物线上(AC与x轴不垂直)
(1)若点B在该抛物线的准线上,且A.B.C三点的纵坐标成等差数列,
求证BF⊥AC(本问已经做出,主要看第2问)
(2)若直线AC过点F,求证以AC为直径的圆与定圆(x-3)^2+y^2=9相内切
大家帮个忙谢谢只要第2问的答案和思路

答案

（I）证明：设A(y1^2/8,y1)、C(y2^2/8,y2),则B(-2,y1+y2/2)
AC的斜率Kac=8/ y1+y2
因为F（2,0）,所以Kbf= y1+y2/（-8）
由Kac*Kbf=-1,可知BF⊥AC
（II）证明：设AC的斜率为k,则A、F、C所在直线的方程为y=k(x-2)

设A(x1,y1)、C（x2,y2）
由y^2=8x
y=k(x-2),分别消去x或y得到
y^2-8/y-16=0或k^2x^2-(4k^2+8)x+4k^2=0
所以y1+y2=8/k,y1y2=-16,x1+x2=4k^2+8/k^2
因此以AC为直径的圆的圆心为D(2k^2+4/k^2,4/k)
再由∣AC∣=√1+1/k^2*∣y2-y1∣
=√k^2+1/k^2*√(y1+y2)^2-4y1y2
=√k^2+1/k^2*√64/k^2+64
=8√k^2+1/k^2*√k^2+1/k^2
=8*k^2+1/k^2
得圆的半径R=∣AC∣/2=4k^2+4/k^2
又定圆心为E（3,0）,半径为
可得∣DE∣=√(2K^2+4/K^2-3)^2+(4/K)^2=4+K^2/K^2
又R-r=4k^2+4/k^2-3=4+k^2/k^2=∣DE∣
因此这两个圆相内切.