在数列{an}中，an=4n-1+n，n∈N*． （1）求数{an}的前n项和Sn； （2）证明不等式Sn+1≤4Sn，对任意n∈N*皆成立．

题目

在数列{a_n}中，a_n=4^n-1+n，n∈N^*．
（1）求数{a_n}的前n项和S_n；
（2）证明不等式S_n+1≤4S_n，对任意n∈N^*皆成立．

答案

（1）∵数列{a_n}的a_n=4^n-1+n，n∈N^*．
∴数列{a_n}的前n项和S_n=

4n−1

4−1

+

n(n+1)

2

=

1

3

(4n−1)+

1

2

(n2+n)．
（2）证明：对任意的n∈N^*，S_n+1-4S_n=

4n+1−1

3

+

(n+1)(n+2)

2

-4（

1

3

(4n−1)+

1

2

(n2+n)）．
=−

1

2

(3n2+n−4)
当n=1时，S₂=a₁+a₂=8，4S₁=8，∴S₂=4S₁；
当n≥2时，3n+4＞0，n-1＞0，∴−

1

2

(3n2+n−4)＜0，即S_n+1＜4S_n．
∴不等式S_n+1≤4S_n，对任意n∈N^*皆成立．

（1）利用等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出．
（2）对任意的n∈N^*，S_n+1-4S_n=−

1

2

(3n2+n−4)，对n分类讨论，n=1与n≥2时 即可证明．

本题考点：数列的求和．

考点点评：本题考查了等差数列与等比数列的前n项和公式、作差法、分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．