如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，∠BCA的平分线交AD于F，交AB于E，FG∥BC交AB于G．AE=4，AB=14，则BG=_．

题目

如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，∠BCA的平分线交AD于F，交AB于E，FG∥BC交AB于G．AE=4，AB=14，则BG=______．

答案

过E作EH⊥BC于H，
∵AD⊥BC，
∴EH∥AD，
又∠ACE=∠BCE，EA⊥AC，EH⊥BC，
∴EA=EH，∠AEC=∠HEC，
∵EH∥AD，
∴∠HEC=∠AFE，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF，
∴EH=AF，
在△AGF和△EBH中，
∵

∠AGF＝∠EBH ∠GFA＝∠BHE AF＝EH

∴△AGF≌△EBH（AAS），
∴AG=EB=AB-AE=14-4=10，
∴BG=AB-AG=14-10=4．

可过E作EH⊥BC于H，由已知条件不难得出AE=EH，进而得出AE=AF，△AGF≌△EBH，再利用线段之间的转化可求解出结论．

本题考点：全等三角形的判定与性质．

考点点评：本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及角平分线的性质等问题，能够运用其性质求解一些简单的计算问题．