已知a,b,c,d∈R,且a^2+b^2=m^2,c^2+d^2=n^2 (m>0,n>0) 求证 |ac+bd|

题目

已知a,b,c,d∈R,且a^2+b^2=m^2,c^2+d^2=n^2 (m>0,n>0) 求证 |ac+bd|

答案

由柯西不等式知,
(a^2+b^2)(c^2+d^2)>=(ac+bd)^2
又因为a^2+b^2=m^2,c^2+d^2=n^2 (m>0,n>0),所以
(mn)^2>=(ac+bd)^2
开方可得（因为m,n为正数）
mn>=|ac+bd|
又由基本不等式（均值不等式）知
1/2(m^2+n^2)>=mn
所以|ac+bd|