求证；1,2,根号5不可能是等差数列中的三项

题目

求证；1,2,根号5不可能是等差数列中的三项

答案

证：（用反证法）
若1,2,sqrt(5)是某个等差数列中的三项,则不妨设
am=1,an=2,aq=5
由于an-am=(n-m)d=1(其中d是等差数列的公差)
所以d=1/(n-m),所以d是有理数.
而aq=am+(q-m)d=2+(q-m)d
由于(q-m)是整数,d是有理数,所以aq是有理数,
这与aq=sqrt(5)不符,所以1,2,sqrt(5)不是等差数列中的三项.