矩形ABCD,E,F经过对角线交点O,且EF⊥BD,BF=EF,求证OE=FC

题目

矩形ABCD,E,F经过对角线交点O,且EF⊥BD,BF=EF,求证OE=FC

答案

矩形ABCD中对角线交于点O,因此OB=0C=OD,
EF经过交点O,因此易证三角形BF0≌DEO,因此OF=OE=EF/2=BF/2,
EF⊥BD,此直角三角形OBF中,∠OBF=30度,因此直角三角形DBC中,∠BDC=60度,因此三角形OCD是等边三角形,因此∠COD=∠OCD=60度,
因此∠FOC=∠FOD-∠COD=90-60=30,∠FCO=∠BCD-∠OCD=90-60=30,
因此∠FOC=∠FCO,
因此三角形FOC中,OF=FC
即OE=FC.