椭圆有两点关于直线对称

题目

椭圆有两点关于直线对称
椭圆:x^2/4+y^2/3=1上有两点关于直线:y=4x+m对称.求m范围.

答案

设椭圆上关于直线y=4x+m的两个对称点为A(x1,y1)和B(x2,y2),
设AB方程为x+4y+b=0与椭圆方程联立得：52y²+24by+3b²-12=0
由韦达定理可知：y1+y2=-24b/52=-6b/13,y1y2=(3b²-12)/52
设AB中点为M,则M点纵坐标(y1+y2)/2=-3b/13,
横坐标(x1+x2)/2=(-4y1-b-4y2-b)/2=-2(y1+y2)-b=12b/13 -b=-b/13
点M在直线y=4x+m上,所以(y1+y2)/2=4(x1+x2)/2 +m
m=-3b/13 +2b/13=-b/13
同时,要使一元二次方程52y²+24by+3b²-12=0有两相异实根
需要判别式大于零,△=(24b)²-4*52(3b²-12)>0,解得-2√13