设a为实数,函数f(x)=x3-x2-x+a. (Ⅰ)求f(x)的极值; (Ⅱ)当a在什么范围内取值时,曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点.
题目
设a为实数,函数f(x)=x3-x2-x+a.
(Ⅰ)求f(x)的极值;
(Ⅱ)当a在什么范围内取值时,曲线y=f(x)与x轴仅有一个交点.
答案
(1)令f'(x)=3x
2-2x-1=0得:
x1=-,x2=1.
又∵当x∈(-∞,
-)时,f'(x)>0;
当x∈(
-,1)时,f'(x)<0;
当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0;
∴
x1=-与x
2=(1分)别为f(x)的极大值与极小值点.
∴f(x)
极大值=
f(-)=a+;f(x)
极小值=a-1
(2)∵f(x)在(-∞,
-)上单调递增,
∴当x→-∞时,f(x)→-∞;
又f(x)在(1,+∞)单调递增,当x→+∞时,f(x)→+∞
∴当f(x)
极大值<0或f(x)
极小值>0时,曲线f(x)与x轴仅有一个交点.
即
a+<0或a-1>0,
∴a∈(-∞,
-)∪(1,+∞)
(1)函数连续可导,只需讨论满足f′(x)=0的点附近的导数的符号的变化情况,来确定极值点,求出极值.
(2)曲线f(x)与x轴仅有一个交点,可转化成f(x)极大值<0或f(x)极小值>0即可.
利用导数研究函数的极值
本题主要考查了利用导数研究函数的极值,以及函数的单调性,属于中档题.
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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