设向量组α1 α2 α3线性无关,向量组α2 α3 α4线性相关.

题目

设向量组α1 α2 α3线性无关,向量组α2 α3 α4线性相关.
证明:(1) α4可由α1 α2 α3线性表示 (2)α1不能由α2 α3 α4线性表示.

答案

(1)
a1,a2,a3线性无关,所以对于实数x,y,z,若xa1+ya2+za3=0,则x=y=z=0.(*)
a2,a3,a4线性相关,所以存在不全为零的实数u,v,w,使得ua2+va3+wa4=0
若w=0,则ua2+va3=0,由(*)知,u=v=0,矛盾!
所以有w≠0,a4=-(u/w) a2 - (v/w) a3,即a4可由a1,a2,a3线性表示
(2)
若a1可由a2,a3,a4线性表示,则不妨设a1=pa2+qa3+ra4,p,q,r∈R
又a4=-(u/w) a2 - (v/w) a3,带入有
a1=(p-ru/w)a2+(q-rv/w)a3,这与a1,a2,a3线性无关矛盾!
所以a1不能由a2,a3,a4线性表示