底面是等腰三角形的直棱柱ABC-A1B1C1中,B1C1=A1C1,A1B⊥AC1 求证：A1B⊥B1C

题目

底面是等腰三角形的直棱柱ABC-A1B1C1中,B1C1=A1C1,A1B⊥AC1 求证：A1B⊥B1C

答案

首先画出图形,因为底面是等腰直角三角形,所以BC⊥AC,又因为直棱柱ABC-A1B1C1,所以BC⊥CC1,所以BC⊥面ACC1A1,所以BC⊥AC1.又因为A1B⊥AC1 ,所以AC1⊥面A1BC,所以AC1⊥A1C,又因为侧面ACC1A1是矩形,又得到对角线垂直,则侧面ACC1A1是正方形,即A1C1=CC1.又B1C1=A1C1,则B1C1=CC1,则侧面BB1C1C也是正方形,那么B1C⊥BC1.又直棱柱ABC-A1B1C1且底面是等腰直角三角形,所以A1C1⊥B1C1,A1C1⊥CC1,则A1C1⊥面BB1C1C,所以A1C1⊥B1C,又因为刚刚证得B1C⊥BC1,所以B1C⊥面A1C1B,所以B1C ⊥
A1B.得证