数列{an}前n项和为sn,a1=1,an+1=2sn,

题目

数列{an}前n项和为sn,a1=1,an+1=2sn,
求数列{an}的通项公式
求数列{nan}的前n项和

答案

1.由a(n+1)=2S(n),S(n+1)=S(n)+a(n+1)得S(n+1)=S(n)+ 2S(n)=3S(n),故
S(n) =3S(n-1)=3^2 S(n-2)=…=3^(n-1) S1
S1=a1=1,故S(n)=3^(n-1).
当n≥2时,有a(n)=S(n)-S(n-1)= 3^(n-1)-3^(n-2)=2×3^(n-2),
{an}的通项公式
a1=1,
n≥2时,a(n)= 2×3^(n-2),
2.设Sn表示数列{nan}前n项和,则
Sn=1+2×2×3^0+2×3×3^1+2×4×3^2+…+2n×3^(n-2),
3Sn=3+2×2×3^1+2×3×3^2+2×4×3^3+…+2n×3^(n-1)
上面两式相减得
2Sn=-1-2×2×3^0-2(3^1+3^2+…+3^(n-2))+ 2n×3^(n-1)
=2n×3^(n-1)-5-2(3^(n-1)-3^1)/2=2n×3^(n-1)-5-(3^(n-1)-3^1)
=(2n-1)×3^(n-1)-2