f（x）=（e＾x-a）²+（e＾-x-a）²（a≥0（1）将f（x）表示为u=（e＾x+e＾-x）/2的函数（2）求f（x）的最小值

题目

f（x）=（e＾x-a）²+（e＾-x-a）²（a≥0（1）将f（x）表示为u=（e＾x+e＾-x）/2的函数（2）求f（x）的最小值

答案

u=（e＾x+e＾-x）/2 (u≥1,当且仅当x=0时等号成立）
则u^2=(e＾2x+2+e＾-2x）/4
f（x）=（e＾x-a）²+（e＾-x-a）²
=e^2x-2ae^x+a^2+e＾-2x-2ae＾-x+a^2
=e^2x+e＾-2x-2a(e^x+e＾-x)+2a^2
=（e^2x+e＾-2x+2）-2-2a(e^x+e＾-x)+2a^2
=4u^2-2-2a*2u+2a^2
=4u^2-4au+2a^2-2
2)f（x）= 4u^2-4au+2a^2-2
=（2u-a）^2+a^2-2
a≥0,u≥1
当a≥1时,f（x）最小值为a^2-2,此时2u=a
当1>a≥0时,f（x）最小值为（2-a）^2+a^2-2=2a^2-4a+2 此时u=1（x=0)