作图,三等分任意角,据说不可能,怎么证明?

题目

作图,三等分任意角,据说不可能,怎么证明?

答案

凡齐尔用代数的方法证明:
抽象代数上有这样一个定理：如果复数z可以用尺规从S0={0,1,z1,...,zn}作出,则z是域F=Q(z1,...,zn,z1~,...,zn~)上的一个代数元且z的次数为2的方幂.其中z1~,...,zn~分别是z1,...,zn的共轭.
三等分任意角就是用尺规从{0,1,a}作出b,其中a=4b^3-3b.
于是b是方程f(x)=4x^3-3x-a=0的根,我们指出f(x)在Q(a)上不可约.
取特殊值a=1/2（即60度角）,则Q(a)=Q(1/2)=Q（有理数）,f(x)=4x^3-3x-1/2=((2x)^3-3(2x)-1)/2,显然f(x)在Q上不可约.
所以,一般情况的f(x)在Q上也是不可约的.由此可知b是Q(a)上的三次代数元.根据一开始的定理,得到结论：cos(m/3)用尺规从{0,1,cosm}作出一般说来是不可能的.