设f(x)在[0,1]上连续,且f(0)=1,f(1）=0.试证明存在x0属于（0,1）,使f(x0)=x0

题目

设f(x)在[0,1]上连续,且f(0)=1,f(1）=0.试证明存在x0属于（0,1）,使f(x0)=x0

答案

设g(x)=f(x)-x
f(x)在[0,1]上连续
则g(x)在[0,1]上连续,
g(0)=f(0)-0=1>0
g(1)=f(1)-1= -1<0
根据零点定理,
存在x0∈（0,1）,使g(x0)=0
即：f(x0)=x0