设向量组α1,α2,……αs能由向量组β1,β2,……βt线性表示为（α1,α2,……αs）＝（β1,β2,……βt）A,其中A为t×s矩阵,且β1,β2,……βt线性无关,证明：α1,α2,……αs

题目

设向量组α1,α2,……αs能由向量组β1,β2,……βt线性表示为（α1,α2,……αs）＝（β1,β2,……βt）A,其中A为t×s矩阵,且β1,β2,……βt线性无关,证明：α1,α2,……αs线性无关的充分必要条件是R（A）＝s

答案

记B=(β1,β2,……βt),C=(α1,α2,……αs),则原等式方程可以表示为BA=C.取一s维纵向量x,有BAx=Cx,记Cx=y,亦是一个s维纵向量.另记s维纵向量z=Ax,那么有Bz=y.
·充分性：当r(C)=r(B)=s,那么方程Cx=y、Bz=y均有唯一解,即对于确定的z,方程Ax=z亦有唯一解,此时必有r(A)=s
·必要性：把充分性的证明翻回去即可,当r(A)=s,方程Ax=z有唯一解,即y=Bz唯一,即对于确定的y,方程Cx=y有唯一解,此时必有r(C)=s