平面上有4个点,没有三点共线的情况,证明:以每3个点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形.
题目
平面上有4个点,没有三点共线的情况,证明:以每3个点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形.
答案
证明:假设以每三个点为顶点的三角形都是锐角三角形,记四个点为A、B、C、D,考虑点D在△ABC之内与之外这两种情况.
(1)如果点D在△ABC之内,由假设知围绕点D的三个角都是锐角,其和小于270°,这与一个周角等于360°相矛盾.
(2)如果点D在△ABC之外,由假设知∠A、∠B、∠C、∠D都小于90°,这与四边形的内角和为360°相矛盾.
综上所述,假设不成立,从而题目中的结论成立.
举一反三
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