如A=﹛a|a=x的平方-y的平方,x,y均属于整数﹜.问若n和m均属于A,n乘m是否也属于A?请说明理由.

题目

如A=﹛a|a=x的平方-y的平方,x,y均属于整数﹜.问若n和m均属于A,n乘m是否也属于A?请说明理由.

答案

因为n∈A
所以 n = b² - c²
因为m∈A
所以 m = d² - e²
所以 n × m
= (b² - c²)(d² - e²)
= (b + c)(b - c)(d + e)(d - e)
= [(b + c)(d + e)][(b - c)(d - e)]
= (bd + ce + be + cd)(bd + ce - be - cd)
= [(bd + ce) + (be + cd)] [(bd + ce) - (be + cd)]
= (bd + ce)² - (be + cd)² ∈ A