r(α1…αs)=r（β1…βt）且α1…αs可由β1…βt线性表示,则两组向量等价

题目

r(α1…αs)=r（β1…βt）且α1…αs可由β1…βt线性表示,则两组向量等价

答案

设r(α1,…,αs)=r(β1,…,βt)=r
不妨设α1,…,αr; β1,…,βr 分别是 α1,…,αs和β1,…,βt 的极大无关组
由于α1,…,αs可由β1,…,βt线性表示
所以 α1,…,αr 可由 β1,…,βr 线性表示
所以存在r阶矩阵K使得 (α1,…,αr)=(β1,…,βr)K.
由于β1,…,βr线性无关
所以 r(K)=r(α1,…,αr)=r.
所以 K 可逆, 有 (α1,…,αr)K^-1=(β1,…,βr).
所以 β1,…,βr可由α1,…,αr线性表示
所以 α1,…,αr 与 β1,…,βr 等价.
所以 α1,…,αs 与 β1,…,βt 等价.