如图,已知常数a>0,在矩形ABCD中,AB=4,BC=4a,O为AB中点,点E.F,G分别在BC,CD,DA上移动,且BEBC=CFCD=DG

题目

如图,已知常数a>0,在矩形ABCD中,AB=4,BC=4a,O为AB中点,点E.F,G分别在BC,CD,DA上移动,且BEBC=CFCD=DG

答案

21.根据题设条件,首先求出点P坐标满足的方程,据此再判断是否存在两定点,使得点P到两定点距离的和为定值.按题意有A（－2,0）,B（2,0）,C（2,4a）,D（－2,4a）.
设BEBC=CFCD=DGDA=k（0≤k≤1）.
由此有E（2,4ak）,F（2－4k,4a）,G（－2,4a－4ak）.
直线OF的方程为：2ax+（2k－1）y=0,①
直线GE的方程为：－a（2k－1）x+y-2a=0.②
从①,②消去参数k,得点P（x,y）坐标满足方程2a2x2+y2－2ay=0,
整理得 .
当a2=时,点P的轨迹为圆弧,所以不存在符合题意的两点.
当a2≠时,点P轨迹为椭圆的一部分,点P到该椭圆焦点的距离的和为定长.
当a2＜时,点P到椭圆两个焦点（－）,（）的距离之和为定值.
当a2＞时,点P到椭圆两个焦点（0,a－）,（0,a+）的距离之和为定值2a