三菱锥的底面是边长为a的正三角形,两条侧菱长为（根号13）a/2,试求第三条侧菱长的取值范围

题目

三菱锥的底面是边长为a的正三角形,两条侧菱长为（根号13）a/2,试求第三条侧菱长的取值范围

答案

两条侧棱√13a/2构成一个等腰三角形侧面,该侧面底边即等边三角形底面的一个边,底边边长为a,
所以该等腰三角形侧面的中线和高=√{(√13a/2)²-(a/2)²} = √3a
等边三角形底面的一个高 = √3/2 a
当等腰三角形侧面与等边三角底面的夹角等于0°时,等腰三角形侧面顶点与底边等边三角形第三顶点的距离=√3a-√3/2 a = √3/2 a
当等腰三角形侧面与等边三角底面的夹角等于180°时,等腰三角形侧面顶点与底边等边三角形第三顶点的距离=√3a+√3/2 a = 3√3/2 a
当该等腰三角形侧面与等边三角底面的夹角大于0°,小于180°时,才能构成三棱锥
∴第三条侧菱长的取值范围为开区间（√3/2 a,3√3/2 a）.