已知二次函数f(x)满足f(-2)=f(3)=0,且f(x)的最大值为5,求f(x)的解析式?

题目

已知二次函数f(x)满足f(-2)=f(3)=0,且f(x)的最大值为5,求f(x)的解析式?

答案

设f(x)=ax^2+bx+c (a<0）因为f(x)有最大值
f(-2)=4a-2b+c=0
f(3)=9a+3b+c=0
f(3)-f(-2)=5a+5b=0,则a=-b
则 f(x)=-bx^2+bx+c=-b(x-1/2)^2+c+b/4
当x=1/2时,f(1/2)的最大值为5,即c+b/4=5,则c=5-b/4
所以,f(x)=-bx^2+bx+5-b/4
f(3)=-9b+3b+5-b/4=0,b=4/5
a=-b=-4/5,c=5-b/4=24/5
因此,f(x)=-4/5x^2+4/5x+24/5