在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M，N分别是AB，PC的中点． （1）求证：MN∥平面PAD． （2）求证：MN⊥CD． （3）若PD与平面ABCD所成的角为45°，求

题目

在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M，N分别是AB，PC的中点．

（1）求证：MN∥平面PAD．
（2）求证：MN⊥CD．
（3）若PD与平面ABCD所成的角为45°，求证：MN⊥平面PCD．

答案

（1）证明：取PD的中点E，连接AE、NE，N为PCD的中点，∴NE∥CD，NE=

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CD，∵M是AB的中点．底面ABCD是矩形，∴AM∥CD，AM=

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CD，∴NE∥AM，NE=AM，AMNE为平行四边形，∴MN∥AE，AE⊂平面PAD，MN⊄平面PAD，∴MN∥平面PAD．
（2）证明：PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴CD⊥PA，∴底面ABCD是矩形，CD⊥AD，AD∩PA=A，∴CD⊥平面PAD，AE⊂平面PAD，∴CD⊥AE，由（1）知，MN∥AE，∴MN⊥CD．
（3）证明：PD与平面ABCD所成的角为45°，PA⊥平面ABCD，∴∠PDA即PD与平面ABCD所成的角，即∠PDA=45°，PA⊥AD，∴PA=AD，∴△PAD为等腰直角三角形，E为PD 中点，∴AE⊥PD，又由（2）知，AE⊥CD，PD∩CD=D，∴AE⊥平面PCD，由（1）知，MN∥AE，∴MN⊥平面PCD．