设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且acosB-bcosA=2c．（Ⅰ）求证：tanA=-3tanB；（Ⅱ）求角C的最大值．

题目

设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且acosB-bcosA=2c．
（Ⅰ）求证：tanA=-3tanB；
（Ⅱ）求角C的最大值．

答案

（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理及acosB-bcosA=2c，（2分）
可得sinAcosB-sinBcosA=2sinC=2sin（A+B）=2sinAcosB+2cosAsinB
∴sinAcosB=-3cosAsinB，故tanA=-3tanB；（4分）
（Ⅱ）由tanA=-3tanB，可知在A，B中必一个是钝角，另一个是锐角；（6分）
假设B是钝角，则acosB-bcosA=2c＜0，与已知矛盾，故B必是锐角，A是钝角，
∵A+B+C=π，
故tanC=-tan（A+B）=

tanA+tanB

tanAtanB−1

，
将tanA=-3tanB代入，得tanC=

tanB

+3tanB

≤

举一反三

已知函数f（x）=x，g（x）=alnx，a∈R．若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）相交，且在交点处有相同的切线，求a的值和该切线方程．

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