设△ABC的内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,且acosB-bcosA=2c. (Ⅰ)求证:tanA=-3tanB; (Ⅱ)求角C的最大值.
题目
设△ABC的内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,且acosB-bcosA=2c.
(Ⅰ)求证:tanA=-3tanB;
(Ⅱ)求角C的最大值.
答案
(Ⅰ)在△ABC中,由正弦定理及acosB-bcosA=2c,(2分)
可得sinAcosB-sinBcosA=2sinC=2sin(A+B)=2sinAcosB+2cosAsinB
∴sinAcosB=-3cosAsinB,故tanA=-3tanB; (4分)
(Ⅱ)由tanA=-3tanB,可知在A,B中必一个是钝角,另一个是锐角; (6分)
假设B是钝角,则acosB-bcosA=2c<0,与已知矛盾,故B必是锐角,A是钝角,
∵A+B+C=π,
故tanC=-tan(A+B)=
,
将tanA=-3tanB代入,得tanC=
≤
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程. 我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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