已知抛物线y2=2px(p>0),有一内接直角三角形,直角顶点在坐标原点,一直角边所在直线方程为y=2x,斜边长等于413,求抛物线的方程.
题目
已知抛物线y
2=2px(p>0),有一内接直角三角形,直角顶点在坐标原点,一直角边所在直线方程为y=2x,斜边长等于4
,求抛物线的方程.
答案
如图,设A(
,y
A),B(
,y
B),根据题意得:
| yA=,① | ×+pyB=0,② | (xA−xB)2+(yA−yB)2=208,③ |
| |
由①可得y
A=p,则x
A=
,由②可得y
B=-4p,
∴B点坐标为(8p,-4p),
由③得p=
,
因此所求抛物线方程为y
2=
x.
不妨设已知直角三角形为OAB,直线OA的方程为y=2x,由题意可知OA⊥OB,从而有K
OB=-
,则可求直线OB的方程,联立方程可求A的坐标,进而可求AO,同理可求OB,由勾股定理可得,AB
2=OA
2+OB
2,代入可求P,进而可求抛物线的方程.
抛物线的标准方程.
本题主要考察了直线与抛物线的相交关系及方程的根与系数的关系的应用,解题中的关键是由直线的垂直关系得到直线OB的斜率.
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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