微分问应用题

题目

微分问应用题
有个题目需要用到微积分,一个容量400L的盐水其中含盐100kg,纯净水以每分钟2L的速度流入容器,同时容器以相同的流速往外释放盐水,问一小时后,容器里的盐的浓度是多少?（假设在任何时间里,容器内的盐都是均匀分布）

答案

设 t 时刻溶液中的盐质量为 m ,则盐的流失速率为
-dm/dt=(m/ V.)·(dV/dt)
dV/dt指液***换速率,注意dm/dt为负值.V.指溶液体积400L
因为dV/dt=2L/min为恒量,因此记 dV/(V.·dt)=2L/min·400L=0.005/min 为常量k,化简原式为
dm/dt= -km
即 (1/m)dm=-kdt
两边积分 lnm=-kt+C
C为积分变量,由初始条件 t=0,m=m.=100kg 得出 C=lnm.
故 lnm=-kt+lnm.
即 ln（m/m.）=-kt
故 m=m.·e^(-kt)
代入 t=60min,k=0.005/min 得一小时后溶液中盐的质量为 m=100kg·e^(-0.3)=74.08182206817179
因此浓度为 0.18520455517042947kg/L